Do đó, những hành vi trên của thầy giáo thực hiện với nữ sinh 12 tuổi là hoạt động xâm hại tình dục người dưới 16 tuổi bị pháp luật nghiêm cấm. Người thực hiện những hành vi này sẽ bị truy cứu trách nhiệm hình sự về Tội hiếp dâm người dưới 16 tuổi theo quy
The correct answer is: Phát huy tối đa tính cách và sở thích cá nhân. Tìm câu trả lời đúng nhất. Chú trọng đến vấn đề giao tiếp ứng xử trong môi trường làm việc là một cách để mỗi thành viên trong doanh nghiệp xây dựng "nhân hiệu" của mình
Giao diện trận đấu được thống kê chi tiết. Tất cả thông tin đều được đội ngũ XemBD sắp xếp cụ thể, người Điều này giúp người hâm mộ yêu bóng đá có thể dễ dàng theo dõi đội bóng, giải đấu mà mình yêu thích Có nên lựa chọn XemBD khi xem bóng đá trực tuyến? Hệ thống link trực tiếp bd được cập nhật trước Name: XemBD Live. Address: 99 Lý Nam Đế, Quán Thánh, Ba Đình, Hà Nội, Việt Nam.
Ngày 05/11/2020, Chính phủ ban hành Nghị định 132/2020/NĐ-CP quy định về quản lý thuế đối với doanh nghiệp có giao dịch liên kết. Theo đó, so với quy định tại Khoản 2 Điều 5 Nghị định 20/2017/NĐ-CP thì các bên có quan hệ liên kết được bổ sung đối tượng như sau: - Hai
1. Về quan niệm giáo dụcCác nhà Nho đều quan niệm giáo dục là biện pháp để hướng con người tới những phẩm chất cao quý như nhân, nghĩa, lễ, trí, tín. Đó là những giá trị chuẩn mực của con người trong xã hội phong kiến. Giáo dục là cần thiết cho tất cả mọi người nên ai ai cũng có cơ hội được học tập.
Tập 1 bàn về quá khứ bắt đầu với các nền chính trị của những bậc tổ tiên từ thời Tiền sử, câu chuyện trải dài từ các xã hội bộ lạc đến nhà nước hiện đại đầu tiên ở Trung Hoa, từ sự khởi đầu của pháp quyền ở Ấn Độ và Trung Đông đến quá trình phát triển của trách nhiệm giải trình chính trị tại châu Âu, và kết thúc ở mốc Cách mạng Pháp nổ ra.
fXDeC3. Mời bạn thảo luận, vui lòng không spam, share link kiếm tiền, thiếu lành mạnh,... để tránh bị khóa tài khoản Tất cảBình luận chap Mới nhất Min Suga Cấp 1 Có nhất thiết phải dùng từ " bán thân " không??? Trả lời 0 0 Báo vi phạm 1255 09/11/20 Asuka Cấp 1 Hãy coi đây là may măn nếu ko nó mà bẻ lái phát là bể m* đầu đấy Trả lời 0 0 Báo vi phạm 0755 25/10/20 Hồ Quỳnh Cấp 1 Đậu móe kết như đầu buồi Trả lời 0 0 Báo vi phạm 0438 13/09/20 Người đi lạc Ẩn danh Vãi cả cuối thư ghi dòng chữ Bố thân yêu lm t ớn vcl Trả lời 0 0 Báo vi phạm 2048 27/05/20 Trả lời 0 0 Báo vi phạm 1121 01/06/20 Lý Thị Như Quỳnh tiểu Motor Cấp 1 nản quá nản Trả lời 0 0 Báo vi phạm 0924 10/07/20 Nam Cung Y Nhiên Cấp 1 Phó Tiểu Đường..................Ôi thật là cái tên gây ấn tượng ssaau cmn sắc á Trả lời 0 0 Báo vi phạm 2006 15/03/20 xử nữ Ẩn danh mới đọc đã thấy hay gồi Trả lời 0 0 Báo vi phạm 1220 05/03/20 ba chấm Ẩn danh há há ,vãi cả đứa em tên tiểu đường Trả lời 0 0 Báo vi phạm 1357 27/06/19 Trả lời 0 0 Báo vi phạm 2156 13/06/19 .. Ẩn danh Truyện end rồi nha các bn có thể vào thể loại manhua hoàn thành có ák Trả lời 0 0 Báo vi phạm 2054 01/06/19 na Ẩn danh truyệ có thịt nhiều hông Trả lời 0 0 Báo vi phạm 1710 25/03/19 ??????????/ Ẩn danh đcm thằng chaFuck Trả lời 0 0 Báo vi phạm 1921 23/08/18 C Ẩn danh Thằng cha nào mà KHỐN NẠN dữ Trả lời 0 0 Báo vi phạm 2248 21/08/18 kuro Ẩn danh anh công sao ghê thế Trả lời 0 0 Báo vi phạm 1617 15/08/18 Mayo iu dấu Ẩn danh ghét mỗi cái chi tiết 30 tuổi Trả lời 0 0 Báo vi phạm 1939 25/07/18 kết là phải he Ẩn danh bộ này cảm xúc nhạc quá Trả lời 0 0 Báo vi phạm 0228 14/04/18 Trang 1 / 2 1 2 › »
Connection timed out Error code 522 2023-06-11 211637 UTC Host Error What happened? The initial connection between Cloudflare's network and the origin web server timed out. As a result, the web page can not be displayed. What can I do? If you're a visitor of this website Please try again in a few minutes. If you're the owner of this website Contact your hosting provider letting them know your web server is not completing requests. An Error 522 means that the request was able to connect to your web server, but that the request didn't finish. The most likely cause is that something on your server is hogging resources. Additional troubleshooting information here. Cloudflare Ray ID 7d5cdf8ca9640a51 • Your IP • Performance & security by Cloudflare
Bài giảng Toán rời rạc - Chương 3 Quan hệ Relations Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán rời rạc - Chương 3 Quan hệ Relations", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Tài liệu đính kèmbai_giang_toan_ro Nội dung text Bài giảng Toán rời rạc - Chương 3 Quan hệ RelationsTOÁN RỜI RẠC Discrete MathematicsChương 3 Quan hệ Relations1. Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa Quan hệ R 2 ngôi giữa 2 tập hợp A và B là một tập con của A B. Một quan hệ giữa A và A gọi là một quan hệ trên A ▪ Nếu a,b R, ta viết aRb. Ví dụ A=Tập các quận-huyện. B=Tập các tỉnh-TP Quan hệ R “Quận/Huyện thuộc tỉnh” giữa 2 tập A và B là tập của A B1. Một số khái niệm cơ bản Chắng hạn R={Long Khánh,Đồng Nai,Gò Vấp, Tp. HCM, Bình Chánh, Thành, Đồng Nai} Quan hệ này có thể trình bày ở dạng bảng Quận-Huyện Tỉnh-TP Long Khánh Đồng Nai Gò Vấp Bình Chánh Long Thành Đồng Nai1. Một số khái niệm cơ bản Ví dụ Cho 2 tập hợp A={các sinh viên} và B={các môn học}, Chẳng hạn A={sv1, sv2, sv3, sv4} B={Toán RR, LTM1, PPsố, Triết} Xét quan hệ R ” Đăng ký môn học” giữa A và B được định nghĩa x Ay B, xRy “sinh viên x có đăng ký môn học y” ✓ Nếu sv2 đăng ký môn PPSố, thì sv2, PPSố R ✓ Nếu sv1 đăng ký môn Toán RR, thì sv1,toán RR R ✓ Nếu sv1 không đăng ký môn Triết, thì sv1,Triết R ✓ ,1. Một số khái niệm cơ bản Ví dụ Trên tập L ={các đường thẳng trong mặt phẳng} Xét quan hệ R”Song song” được định nghĩa bởi L1,L2 L , L1 R L2 L1//L2 Ví dụ Trên tập S là tập các đa giác trong mặt phẳng. Quan hệ R”đồng dạng” được định nghĩa như sau a,b S, a R b “a và b đồng dạng” Ví dụ Trên tập số nguyên Z, cho trước số n>1. Xét quan hệ a R b a – b chia hết cho n a và b có cùng số dư khi chia cho n1. Một số khái niệm cơ bản Quan hệ này gọi là quan hệ đồng dư modulo n. Kí hiệu ab mod n. Ví dụ như 18mod 7; 311mod 8, Có thể biễu diễn quan hệ 2 ngôi bằng biểu đồ Ví dụ Cho A={4,5,6},B={1,2,3} và R={4,1,4,2,5,2,6,3} B A B R 3 • Hoặc 4 • •1 2 • • 5 • •2 1 • 6 • •3 4 5 6 A1. Một số khái niệm cơ bản Ví dụ Cho tập A={2,4,6} và B={a,b,c,d} a Có bao nhiêu quan hệ khác nhau có thể có giữa A và B? b Có bao nhiêu quan hệ có chứa cặp 2,b? c Có bao nhiêu quan hệ không chứa cặp 1,a và 3,b? Giải a Ta có A B=A B=3 4=12 Số tập con khác nhau của A B là 212. Mà mỗi tập con của A B là một quan hệ. vậy số quan hệ khác nhau có thể có giữa A và B là 212. b Số quan hệ có chứa cặp 2,b?1. Một số khái niệm cơ bản b Gọi X là một quan hệ thoả điều điện đã cho nghĩa là X có chưá ít nhất là 1 cặp 2,b. X có dạng X = {2,b} Y với Y A B \{2,b} Có 1 cách chọn tập {2,b} Mỗi cách chọn {2,b} có 2A B\{2,b} = 211. Theo nguyên lý nhân, số quan hệ X có thể tìm được là 1 211=211. c Tính số quan hệ giữa A và B không chứa 1,a và 3,b? bài tập d Có bao nhiêu quan hệ có đúng 5 cặp a,b với a A và b B? bài tập1. Một số khái niệm cơ bản tt Định nghĩa Một quan hệ R có n ngôi trên các tập A1,A2, ,An là một tập con A1 A2 An. Các tập A1, A2, , An gọi là các miền của R. Ví dụ Cho A1 Tập chuyến các tàu , A2 Tập các nhà ga A3={0,1,2, 23} Giờ trong ngày A4={0,1,2, 59} Phút trong giờ Xét quan hệ R 4 ngôi gồm các bộ có dạng x, y, z, t cho biết lịch tàu đến tại mỗi ga, với x số hiệu tàu, y ga, z giờ, t phút. Nếu tàu S1 đến ga Nha trang lúc 13h30, thì S1, Nha Trang ,13,30 R Nếu tàu S3 đến ga Sài gòn lúc 4h30 thì S3,Saì Gòn,4,30 RMột số khái niệm cơ bản tt Nếu tàu S1 đến ga Tuy Hòa lúc 17h45 thì S1,Tuy Hòa,17,45 R Nếu tàu LH2 đến ga Bình Định lúc 4h00 thì LH2,Bình Định,4,0 R Có thể bố trí các phần tử của quan hệ ở dạng bảng Số Tàu Ga Giờ Phút Mỗi dòng là S1 Nha Trang 13 30 một bộ của R S3 Sài Gòn 4 40 S1 Tuy Hòa 17 45 LH2 Bình Định 4 001. Một số khái niệm cơ bản tt Định nghĩa ▪ Cho trước các tập A1, A2, , An. Ánh xạ chiếu lên các thành phần thứ i1,i2, , im m n được định nghĩa A A A → A A A i1 ,i2 , , im 1 2 n i1 i2 im a a a a a a 1 2 n i1 i2 im ▪ Khi đó, với R là một quan hệ trên A1, A2, , An, thì R i1 ,i2 , ,im Gọi là quan hệ chiếu1. Một số khái niệm cơ bản tt Ví dụ Cho A1={Số hiệu các chuyến tàu}; A2={các ga} ; A3={Giờ đến}={0,1,2, ,23}; A4={phút}={0,1,2, , 59} và quan hệ R=“Lịch tàu” giữa A1, A2, A3. Nếu chỉ muốn biết danh sách các tàu và ga đến không cần quan tâm đến thời điểm, ta xét quan hệ chiếu SoTau ,Ga R R Số Tàu Ga Giờ Phút Số Tàu Ga S1 Nha Trang 13 30 S1 Nha Trang S3 Sài Gòn 4 40 S3 Sài Gòn S1 Tuy Hòa 17 45 S1 Tuy Hòa LH2 Bình Định 4 00 LH2 Bình Định2. Một số tính chất của quan hệ Một quan hệ R trên A có thể có các tính chất sau đây a Tính phản xạ reflexivity R phản xạ reflexive relation a A, aRa A Ví dụ Cho A={1,2,3,4,5}, R 5 • • Một quan hệ trên A. 4 • • R={1,1,2,2,2,3,3,3,3,4, 3,5,4,2 ,4,4, 5,1, 5,5} 3 • • 2 • • R có tính phản xạ. 1 • • 1 2 3 4 5 A2. Một số tính chất của quan hệ tt Ví dụ Cho tập A = {1,2,3,4} và quan hệ R trên A R= {1,1,2,1, 3,1, 3,2, 4,4, {3,3} Ta thấy 2 A nhưng 2,2 R2 nên R2 không có tính phản xạ. Ví dụ Cho tập A={Người}, xét quan hệ R trên A được định nghĩa x,y A, xRy “x thân quen với y” Ta có “x A, x thân quen với x” hiển nhiên Hay x A, xRx nên R có tính phản xạ Ví dụ Quan hệ “ “ trên R có tính phản xạ. Vì x R, x x2. Một số tính chất của quan hệ b Tính đối xứng Symmetry R đối xứng symmetric relation a,b A, aRb bRa Ví dụ A={1,2,3}, xét quan hệ trên A R3 = {1,1, 3,2, 1,3, 3,1, 2,3} là quan hệ đối xứng R4 = {2,1, 1,2, 3,2, 1,3, 3,1, 3,3} là quan hệ không đối xứng2. Một số tính chất của quan hệ Ví dụ Chọ tập A={Con người}, Xét quan hệ R “Quen biết” được định nghĩa như sau x,y A, xRy “x quen biết với y” Quan hệ này có tính phản xạ, và đối xứng Ví dụ Xét quan hệ R“Láng giềng” trên tập T={các tỉnh-Thành phố} được định nghĩa x,y T, xRy “x láng giềng với y” Quan hệ “Láng giềng” cũng có tính đối xứng. Ví dụ hệ “=“ trên tập A bất kỳ quan hệ có tính đối xứng Ví dụ Quan hệ “ “ trên R không có tính đối Một số tính chất của quan hệ c Tính phản xứng Antisymmetry R phản xứng Antisymmetric relation a,b A, aRb^bRa a=b Ví dụ Quan hệ “ ” trên tập số thực R, có tính phản xứng. Vì x,y R, x y y x x= y Ví dụ Cho tập A={1,2,3,4} và quan hệ R trên A là R1={1,1,2,3,2,2,4,3,4,4} R1 không có tính phản xạ, nhưng có tính phản xứng. R2={1,1,3,3,4,4} Đối xứng, phản xứng2. Một số tính chất của quan hệ d Tính bắt cầu Transitivity R có tính bắt cầu transitive relation x,y,z A xRy yRz xRz Ví dụ Các quan hệ “=“, “ ” trên R là các quan hệ có tính bắt cầu Quan hệ ” ” trên R không có tính bắt cầu? Quan hệ “//” trên L là quan hệ có tính bắt cầu. Quan hệ “ ⊥” trên L là quan hệ không có tính bắt cầu. Quan hệ đồng dư modulo n trên Z là quan hệ có tính bắt Một số tính chất của quan hệ d Tính bắt cầu Transitive R có tính bắt cầu x,y,z A xRy yRz xRz Ví dụ Các quan hệ “=“, “ ” trên R là các quan hệ có tính bắt cầu Quan hệ ” ” trên R không có tính bắt cầu? Quan hệ “//” trên L là quan hệ có tính bắt cầu. Quan hệ “ ⊥” trên L là quan hệ không có tính bắt cầu. Quan hệ đồng dư modulo n trên Z là quan hệ có tính bắt Một số tính chất của quan hệ tt Ví dụ Xét quan hệ đồng dư modulo n trên z. a,b Z, abmod n a-b chia hết cho n. Nghĩa là a, b có cùng số dư khi chia cho n ▪ Ta có a Z, a-a = 0 chia hết cho n. Hay a Z, aamod n Vậy mod n có tính phản xạ. ▪ a,b Z, abmod n a-b chia hết cho n a-b=kn với k Z b-a=-kn b-a chia hết cho n bamod n Vậy mod n có tính đối xứng ▪ a,b,c Z, abmod n và bcmod n a – b = k1n và b-c = k2n với k1, k2 z a-c = a-b+b-c=k1+k2n hay a-c chia hết cho n. Hay acmod n . vậy mod n có tính bắt cầu2. Một số tính chất của quan hệ Ví dụ A={Các tỉnh/Thành phố} R “Láng giềng” xem ví dụ trước R có tính phản xạ, đối xứng, nhưng không có tính phản xứng, và không có tính bắt cầu. Ví dụ A={Người}; R”Quen biết” xem ví dụ trước R Không có tính bắt cầu Ví dụ A={Con người}, Xét quan hệ R”Anh em” được định nghĩa x,y A, xRy x có cùng cha mẹ với y R có tính phản xạ, đối xứng và bắt Biểu diễn quan hệ bằng ma trận Một quan hệ trên tập hữu hạn A={a1, a2, , an} có thể biểu diễn bằng ma trận vuông 0-1 cấp n được định nghĩa RA=rij với rij bằng 1 nếu ai,aj R và bằng 0 nếu ai,aj R Ví dụ Cho A={1,2,3,4,5,6} , quan hệ được định nghĩa x,y A, x R y “x cùng tính chẵn lẻ với y” 1 2 3 4 5 6 1 1 0 1 0 1 0 R={1,1,1,3, 1,5, 2,2,2,4, 2,6, 2 0 1 0 1 0 1 3,1, 3,3, 3,5, 4,2, 4,4, 4,6, 3 1 0 1 0 1 0 5,1, 5,3, 5,5, 6,2, 6,4, 6,6} 4 0 1 0 1 0 1 5 1 0 1 0 1 0 6 0 1 0 1 0 13. Biểu diễn quan hệ bằng ma trận Ví dụ Cho E={a,b,c}, quan hệ bao hàm trên tập PE . A,B PE, ARB A B {a} {b} {c} {a,b} {a,c}{b,c} {a,b,c} 1 1 1 1 1 1 1 1 { a } 0 1 0 0 1 1 0 1 {b } 0 0 1 0 1 0 1 1 { c } 0 0 0 1 0 1 1 1 { a,b } 0 0 0 0 1 0 0 1 { a,c } 0 0 0 0 0 1 0 1 {b,c } 0 0 0 0 0 0 1 1 { a,b,c } 0 0 0 0 0 0 0 13. Biểu diễn quan hệ bằng ma trận Nhận biết quan hệ có tính phản xạ, phản xứng, đối xứng qua ma trận biểu diễn quan hệ4. Quan hệ tương đương Định nghĩa Quan hệ R trên tập hợp A gọi là quan hệ tương đương nếu thỏa các tính chất Phản xạ, đối xứng và bắc cầu Ví dụ Xét quan hệ R trên tập số nguyên z được định nghĩa m,n z, mRn “m cùng tính chất chẵn lẻ với n” Ta có ▪ m z , m cùng tính chẵn lẻ với chính nó. Vậy R phản xạ. ▪ m,n z, mRn “m cùng tính chẳn lẻ với n” “n cùng tính chẳn lẻ với m” nRm. Vậy R đối xứng. ▪ m,n,k z mRn “m cùng tính chẳn lẻ với n” m-n=2r k z4. Quan hệ tương đương tt ▪ nRk “n cùng tính chẳn lẻ với k” n-k=2t t z m-k = m-n+n-k=2r+t “m và k vùng tính chẵn lẻ” mRk. Có tính bắt cầu . Kết luận R phản xạ, đối xứng và bắc cầu nên R là quan hệ tương đương trên Z. Ví dụ Quan hệ R trên tập S gồm các chuỗi kí tự được định nghĩa s1,s2 S, s1Rs2 lens1=lens2. là quan hệ tương Quan hệ tương đương Ví dụ A={Con người}, Quan hệ R trên A là “Quen biết” không phải là quan hệ tương đương. Vì không có tính bắt cầu. Ví dụ Quan hệ “song song” trên tập L các đường thẳng trong mặt phẳng là quan hệ tương đương. C/m L L, L//L hiển nhiên. Vậy R phản xạ L1,L2 L, L1RL2 L1//L2 L2//L1 hay L2RL1. Vậy R đối xứng L1,L2,L3 L, L1//L2 L2//L3 L1//L3. Vậy R bắt cầu. Kết luận “Song song” là quan hệ tương đương trên L4. Quan hệ tương đương Ví dụ Quan hệ trên Z+ không là quan hệ tương đương vì không có tính đối xứng. Ví dụ hệ đồng dư modulo n trên tập số nguyên Z là quan hệ tương đương. Chứng minh?4. Quan hệ tương đương tt Định nghĩa tương đương Cho R là một quan hệ tương đương trên A và x A, lớp tương đương chứa x là tập con của A gồm những phần tử có quan hệ R với x. Nói cách khác Lớp tương đương chứa x là tập con của A được định nghĩa [x]R={y A/yRx} Ví dụ Trên z định nghĩa quan hệ R a,b z, aRb “a cùng tính chẵn lẻ với b” R là quan hệ tương đương xem ví dụ trước Lớp tương đương chứa 2 là [2]={Các số chẵn} = { -4, -2, 0, 2, 4, } Lớp tương đương chứa 1 là [1] ={Các số lẻ}= { -5, -3, -1, 1, 3,5, }4. Quan hệ tương đương tt Ví dụ Quan hệ mod 4 trên Z Có 4 lớp tương đương Z4={[0],[1],[2],[3]} [0]={n Z/ n chia hết cho 4}={ -8,-4,0,4,8, }={4k/k Z} [1]={n Z/ n chia cho 4 dư 1}={ ,-7,-3,1,5,9, }={4k+1/k Z} [2]={n Z/ n chia cho 4 dư 2}={ ,-6,-2,2,6,10, }={4k+2/k Z} [3]={n Z/ n chia cho 4 dư 3}={ ,-5,-1,3,7,11, }={4k+3/k Z} Tổng quát Quan hệ mod n trên Z có n lớp tương đương. Zn={[0],[1], ,[n-1]}4. Quan hệ tương đương tt Định lý Cho R là một quan hệ tương đương trên tập A. Ta có i x A, x [x] ii x,y A, xRy [x]=[y] iii x,y A, [x][y]≠ [x]=[y] C/m? i R phản xạ nên x A, xRx x [x] theo định nghĩa ii mà R đối xứng nên xRy yRx y [x]Lớp tương đương và các phân hoạch Định nghĩa Cho tập hợp S và A1, A2, , An là các tập con của S thỏa các tính chất Ai i {1,2, ,n} AiAj = i,j {1,2, ,n}, i j A1A2 An = S Thì A1, A2, , An gọi là một phân hoạch của S A6 Một phân hoạch A1 A3 A5 A7 Của S thành 7 S Tập con A2 A4Lớp tương đương và các phân hoạch Ví dụ Cho S={0,1,2,3,4,5,6,7} và A={1,3,5,7}, B={2,4,6}, C={0}. Ta có A , B và C AB=; AC= ; BC= ABC=S Vậy A, B, C là một phân hoạch của SLớp tương đương và các phân hoạch tt Định lý Cho R là một quan hệ tương đương trên A. Khi đó các lớp tương đương của R sẽ tạo nên một phân hoạch của A. Ngược lại, nếu A1, A2, , An là một phân hoạch của A thì tồn tại quan hệ tương đương R sao cho {Ai} là tập các lớp tương đương của R. Ví dụ Quan hệ “cùng tính chẵn lẻ” trên tập số nguyên Z xem ví dụ trước phân hoạch Z thành 2 lớp tương đương [1]={ ,-5,-3,-1,1,3,5, } Tập số lẻ [2]={ ,-4,-2,-0,2,4,6, } Z Tập số chẵnLớp tương đương và các phân hoạch tt Ví dụ Trên z, tập các lớp tương đương của quan hệ đồng dư modulo 4 z4 ={[0], [1], [2],[3]} là một phân hoạch của z. [0] [1] [3] [2] zPhân hoạch Ví dụ Cho tập A={a1, a2, a3, a4, a5, a6} và các tập con của A E1={a1, a3}, E2={a2,a4, a5}, E3={ a6}. Hãy tìm một quan hệ tương đương trên A nhận E1, E2, E3 làm các lớp tương đương? Giải Ta có {E1, E2, E3}là một phân hoạch của A. Theo định lý tồn tại quan một hệ tương đương trên A nhận E1, E2, E3 làm các lớp tương đương. Gọi R là quan hệ tương đương cần tìm. Do R có tính phản xạ nên R có dạng R={a1, a1, a2, a2, a3, a3,a4, a4,a5, a5, a6, a6} X E1 là một lớp tương đương của R nên R phải có chứa các cặp a1,a3, a3,a1 E2 là một lớp tương đương của R, nên R phải có chứa các cặp a2,a4, a4,a2, a2,a5, a5,a2, a4, a5, a5,a4 Vậy R cần tìm có thể là R={a1, a1, a2, a2, a3, a3,a4, a4,a5, a5, a6, a6} {a1,a3, a3,a1, a2,a4, a4,a2, a2,a5, a5,a2, a4, a5, a5,a4}5. Quan hệ thứ tự Định nghĩa Quan hệ R trên tập A gọi là quan hệ thứ tự khi và chỉ khi R có tính Phản xạ, phản xứng và bắt cầu. Ghi chú Thường kí hiệu quan hệ thứ tự bởi < và A,< gọi là tập có thứ tự. Ví dụ Cho tập A={a1,a2, a3, a4, a5, a6, a7}, Xét các quan hệ R1={a1, a1, a2,a2, a3,a3,a4,a4,a5,a5,a6,a6,a7,a7, a1,a3, a3, a5,a1,a5, a5,a7, a3,a7, a1,a7} R2={a1, a1, a2,a2, a3,a3,a4,a4,a5,a5,a6,a6,a7,a7, a1,a4, a4, a6,a1,a3, a4,a1, a3,a7, a1,a7} R1 có phải là một quan hệ thứ tự trên A? R2 có phải là một quan hệ thứ tự trên A?Quan hệ thứ tự tiếp theo ▪ Ta thấy a A, aR1a. nên R1 phản xạ a,b A, aR1b a=b nên R1 phản xứng a,b,c A, aR1b bR1c aR1c nên R1 bắt cầu Vậy R1 là một quan hệ thứ tự trên A ▪ R2 không phải là quan hệ thứ tự vì không phản xứng Ví dụ Quan hệ so sánh nhỏ hơn hay bằng thông thường trên R trên tập số thực R là một quan hệ thứ tự. Tập R, là tập có thứ hệ thứ tự tiếp theo Ví dụ tập PE={các tập con của E}, xét quan hệ R ARB A B R là quan hệ thứ tự trên P E. c/m? c/m A PE, AA ARA. Vậy R phản xạ A,B PE, AB BA A=B. Vậy R phản xứng A,B,C PE, AB BC A C. Vậy R bắt cầu KL là một thứ tự trên trên PE , PE, là tập có thứ tựQuan hệ thứ tự tiếp theo Ví dụ Trên tập số nguyên dương Z+, xét quan hệ chia hết như sau a,b Z+ , ab b chia hết cho a Chứng minh là một thứ tự trên Z+? Gỉải a Z+, aa hiển nhiên. Vậy có tính phản xạ ??????????Quan hệ thứ tự tiếp theo Định nghĩa Cho tập có thứ tự A,< và x,y A. i Nếu x điều giáo quan hệ tập 1
